我们该怎样引入随机微分方程呢？大概是这样的，首先考虑常的微分方程ODE为\(x'=V(x)\), \(x\in \Omega\subseteq\mathbb{R}^n\)，然后此方程刻划物理现象的时候作为物体运动的轨迹，其解\(x(t), t\geq 0\)是关于\(t\)的光滑的曲线。但是在许多应用中，从实验所观测到的轨迹不如确定性方程所描述的那样光滑。因此有必要改正ODE为SDE。
也就是变成微分 \[d X(t) = V(X(t)) d t + G(X(t))\xi(t)\] 的形式。其中的\(G(X)\)是\(n\times m\)的矩阵。\(\xi\)是\(m\)维的白噪声。但是问题在于，在数学上如何严格定义白噪音。作为一个随机过程，其解又是什么意思？
直观的解释是使用连续随机过程来处理随机微分方程。每个\(X\)表示是一个随机变量，而\(X(t)\)整体表示的是求解一族随机过程本身。因此也就变成了求随机变量分布或者密度与时间的参数的关系。比如线性单自由度体系的运动方程 \[mX''(t) + cX'(t) + kX(t) = Y(t), X(0) = X_0, X'(0) = X'_0\] 中，引入\(X_1(t) = X(t)\)，就写成使用状态变量描述动态系统的方法。这种方法是系统工程与现代控制理论的重要的手段。在振动工程中有许多方便的应用。
公式化定义
考虑具有随机初始条件的简单随机微分方程 \[X'(t) = f(X(t),t) , t\in T; X(t_0) = X_0\] 式中的\(f\)是均方连续且均方有界的函数。\(X_0\)是已知的随机变量。给定一个随机过程\(X(t)\)，如果它满足
- \(X(t)\)在\(T\)上均方连续
- \(X(t_0) = X_0\)
- \(f(X(t),t)\)是\(X(t)\)在\(T\)上的均方导数，则称\(X(t)\)是方程的一个均方解。易证方程与积分方程\[X(t) = X_0 + \int_{t_0}^t f(X(s),s)\d s\]是等价的。其中的积分是均方积分。这样对随机微分方程的求解经常可以从随机积分方程入手。
具有随机初始条件的齐次线性常微分方和可以描述为： \[X'(t) = A(t) X(t), t\in T, X(t_0) = X_0\] 式中的\(A(t)\)是\(n\times n\)的确定性的实矩阵，且各元素均在\(t\)上连续。\(X_0\)则是已知的某个随机变量，比如服从正态分布的随机变量。其对应的具有确定初始条件的方程是 \[x'(t) = A(t) x(t), t\in T, x(t_0) = x_0\]
由常微分方程理论我们就知道这样的常微分方程具有唯一解\(x(t) = H(t,t_0)x_0\)。其中\(H\)是\(n\times n\)的矩阵，它与系统矩阵\(A(t)\)对应确定性方程的基本解矩阵。当\(A(t)=A\)是常数矩阵的时候，\(H(t,t_0)\)可以显式地表示成矩阵指数
\[H(t,t_0) = \mathrm{e}^{(t-t_0)A}\]
类似地，我们考察随机微分方程具有和常微分方程类似形式的解，那么应该有\(X(t) = H(t,t_0), X(0)=X_0\)。