人们对非标准分析的通常说法是非标准分析建立在实数域\(\mathbb{R}\)的扩张之上。扩张之后的\(\mathbb{R}^*\)包含了无限小的非零数，以及无限大的数。无限小的非零数具有的特点是绝对值比任何正实数都小，无限大的数的特点是绝对值比任何正实数都大。
显然，非标准分析得提供许多有益的结论，并且不会导致与直观相悖的结果才能为人接受。事实上它正符合这一点。因此非标准分析很有发展的前途。
然而为此建立新的公理基础的方法却比较艰难。在微积分的创立时期，Newton,Leibniz都是在一阶与高阶无穷小的基础上发展起了微积分的理论。但是因为不严格而备受责难。现在看来，当时主要是没有严格的逻辑公理基础，因而对实数的理解不够深刻。那么这样的思想，也就是把无穷小与无穷大作为实数中正常的元素的思想，就不能继续发展下去。
个人的观点是，实无穷与潜无穷的争论很难解决。甚至准确地描述它们都显得很困难。所以两种哲学观点，都可能具有一些价值。但是我们还是得从理性的角度出发，哪一个上面建立的理论比较完善，就接受哪一个。如果都比较完善，那么就不舍弃另一个，让两种观点同时向前发展。现在，大概“标准分析”与“非标准分析”两者应该是同时发展的。
按照惯例应当介绍非标准分析的发展历史。不过这个新兴领域中的发展，哪些具有更重要的意义可能不太容易说清。结果，这里就不介绍相关背景了。
超实数的构造背景
超实数域\(\mathbb{R}^*\)是非标准分析的空间模型，有时候也称为实数的非标准模型。非标准分析正是在空间\(\mathbb{R}^*\)上展开，因此叙述非标准分析必然从超实数域的构造开始。
任何领域在初创的时期，往往比较极端。非标准分析的极端体现在创立者刚开始的时候尝试通过修正数理逻辑与集合论构造能够容纳非标准分析的模型。这样的工作或许在将来的某个时间，被发现了非标准分析更深刻思想的人继承。不过，一开始就修改逻辑，未免让这个理论变得不必要的复杂。在这时候，有一个相对成熟的模型来解释新的模型，也许是更明智的做法。
所以我们先把从ZFC公理系统添加新的东西而构成的内集合论公理放在一边。 当前，对它的理解仅限于：
知道新公理系统与ZFC公理系统是相容的，
内集合论加上了一个新的一元谓词“标准的”，以及三条新的公理，
新添加的三条公理，转换原理，理想化原理，标准化原理与原来ZFC中的公理一起，构成了所谓“非标准分析的饱和模型”中内集的基本性质，
要研究内集合论公理，可能需要更多的数理逻辑基础。
非标准分析提出之后，有若干个相应的模型。第一个是Robinson给出的，基于数理逻辑的紧致性定理的证明而保证存在的模型。第二个仍是Robinson提出的，但经过许多人的改进后形成的模型。这个模型需要较少的数理逻辑的知识，并且建立在标准分析的概念之上，相当于扩充\(\mathbb{R}\)形成的新域。它是目前大多数人习惯使用的模型。第三个，则是1977年美国数学家Nelson.E提出的内集合论公理所表述的非标准分析。当前，第三个主要由法国的非标准分析学派使用。
当前，我们仅使用第二个模型，因为这种模型数学较为简单。而且，它能使我们更关注于用非标准方法解决标准的数学问题，而不是一开始就陷入非标准模型本身逻辑性质的抽象之中。
当前，非标准分析的理论已经在微积分，拓扑学、实分析、广义函数、函数论、泛函分析、李群、弹性力学以及流体力学中得到了应用。或许这个领域真的如哥德尔为Robinson的《非标准分析》所写的序言中所写的那样，“以这种或者那种形式表示的非标准分析，将成为未来的分析学”。
超实数域的超幂构造
完整叙述这个构造，需要熟悉“滤子”，“自由超滤子”等概念。但目前甚至难于找到一本书介绍这些东西。因此我们也不一般地介绍它们是什么。仅仅从有限余滤子开始。
自然数集\(\mathbb{N}\)上的有限余滤子指的是由自然数集的补集为有限集的子集构成的集族\(\mathscr{F}\)。有限余滤子又称Frechet滤子。这样的滤子我们以前见过，比如说，若自从某项开始，数列\(\{a_n\}\)与数\(A\)的距离小于\(\varepsilon\)，那么显然使\(\vert a_n - A \vert < \varepsilon\)的\(n\)构成的集合，就具有有限余集。若一实数列在某个具有有限余集的子列上收敛于某个数，显然实数列本身也收敛于这个数。
\(\mathscr{U}\)需要扩张才能进一步满足非标准分析的要求。扩张后的集族，为一个自由超滤子。扩张的过程是简单的，并且其存在性可由选择公理或Zorn引理证明。自由超滤子\(\mathscr{U}\)在\(\mathscr{F}\)的基础上，对于任一集合\(A \in \mathbb{N}\)，若\(A\neq \mathscr{F}\)并且\(A^c\neq\mathscr{F}\)，那么取\(A\)或\(A^c\)中的一个加入\(\mathscr{U}\)。直到不能扩张时，就构成了自由超滤子\(\mathscr{U}\)。
设\(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\)是所有实数列构成的集合，即 \[\mathbb{R}^{\mathbb{N}}=\{ \{a_n\} \,:\, \{a_n\}:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\}。\] 定义两个实数列上关系\(R\)为\(\{a_n\}\,R\,\{b_n\}\)，当且仅当集族\(\mathscr{U}\)的某个集合上数列\(\{a_n\}\)与\(\{b_n\}\)相等。可以证明关系\(R\)是一个等价关系。由这个等价关系构成的等价数的集合，我们就用\(\mathbb{R}^*\)来表示。\(\mathbb{R}^*\)就是我们要的超实数模型，它里面的元素称为超实数。
在\(\mathbb{R}^*\)里，加法与乘法都按照实数列的加法与乘法进行。两个元素 \(\langle\{a_n\}\rangle\)与\(\langle\{b_n\}\rangle\)的序关系，按照 \[\langle\{a_n\}\rangle < \langle\{b_n\}\rangle, \ \mathrm{iff} \ \exists\,S\subseteq\mathscr{U}\,\forall n \in S,\,a_n=b_n\] 来定义。
而原来的实数\(r\)，在\(\mathbb{R}^*\)中与常值数列\(\{r,r,\cdots,r,\cdots\}\)等价。因此使\(\mathbb{R}\)自然嵌入到\(\mathbb{R}^*\)当中。
这样我们可以将\(\mathbb{R}^*\)看成是\(\mathbb{R}\)的有序域扩张。
思考收敛于零的实数列\(\varepsilon\)，由序的定义，我们知道，对于每个正实数\(a\)都有\(a<\varepsilon\)。而发散到无穷的序列可以看成无限大。可以证明在超实数域上有这样的表示定理：
每个有限的超实数\(x\)，可以唯一分解成 \[x=x^\circ+\varepsilon.\] 其中\(x^\circ\)是\(\mathbb{R}\)中的数，而\(\varepsilon\)是无限小。
对于任意\(x,y\in\mathbb{R}^*\)，我们可证明\(x-y\)是无限小，是\(x\)与\(y\)的等价关系。对于每个\(a\in\mathbb{R}\)，我们用\(M(a)\)记与\(a\)等价的元素的集合，称为\(a\)的单子。当\(x-y\)是无限小的时候，我们记\(x\thickapprox y\)。
现在，在超实数域中，无穷小与无穷大都已经引入了。但是我们知道，有许多的实序列头没有收敛的性质，因此它们的行为就比较复杂。这启示我们进一步限制哪些序列是我们将要在其上进一步讨论的对象。
设\(A\)是\(\mathbb{R}^*\)的一个子集。如果存在\(\mathbb{R}\)上的集列\(A_n\)，使得在自由超滤子\(\mathscr{U}\)的某个集合\(U\)上\(x=\{x_n\}\in A\subseteq\mathbb{R}^*\)，当且仅当\(x_n\in A_n\)，那么称\(A\)是\(\mathbb{R}^*\)的一个内子集。否则称\(A\)为\(\mathbb{R}^*\)的一个外子集。可以证明\(\mathbb{R}^*\)中的任意开区间，闭区间，半开半闭区间都是内子集。
超实数域的外集与实数集及其子集的性质差别较大，而内子集的性质则较为相近。以后我们的研究主要是超实数域的内子集。\(\mathbb{N}^*\)、\(\mathbb{Q}^*\), \(\mathbb{Z}^*\)，以及区间\([x,y]^*\)、\((x,y)^*\)都是\(\mathbb{R}^*\)的标准内子集。
当\(A\)是\(\mathbb{R}\)的有限子集时，\(A\)的扩充\(A^*\)与\(A\)有相同的势。但是当\(A\)不是\(\mathbb{R}\)的有限子集时，\(A\)的扩充\(A^*\)将比\(A\)中的元素多很多。
在此基础上，自然原延伸是建立超实数域\(\mathbb{R}^*\)类似于\(\mathbb{R}\)的加法公理，乘法公理，序公理，完备性公理等理论。所以就不再用多余的叙述。
超实数域总结
构造完\(\mathbb{R}^*\)及其上的内集，非标准分析的基础就算完成了。因此说来，学习非标准分析的难度也不算很高。
不过上面的构造过程应当引起我们更深的思考，比如为什么这样的扩充是容许的，尤其是，为什么实数集的子集，可以进一步扩充成内集。我们知道，实数的某些性质是不完美的，但是实数的构造确实很完美，域结构，序结构，拓扑结构以及微分结构它都有。这启示我们，是否在构造实数时是否遗忘了一些基本的公理。对比超实数的构造，也许我们会发现，如果在集论上添加一些新的东西，实数的理论就会变得更简单。非标准分析的逻辑理论，或者说，尝试在集合论的层次上建立内子集与外子集的想法，或许就是尝试发现这些被忽视的构造吧。
这样一来，好像我们必然要建立更完备的集合论一样，好像内集合论公理是集合论必然的选择一样。
前面我们表达的意思是，超实数域的理论是很容易模仿经典实数理论建立起来的，而现在我们想更详细地谈一些东西。
极限，在超实数域中有特别简单的解释。函数\(f\)是连续的，用直观的语言说，就是自变量\(x\)与常数\(a\)无限接近的时候，函数值\(f(x)\)与\(f(a)\)也无限接近。这一直观的语言在\(\varepsilon\)-\(\delta\)语言中并无直接对应。但是用超实数域的语言很容易说明。在\(\mathbb{R}^*\)中，函数\(f\)是连续的，意思是，当自变量\(x\thickapprox y\)的时候，\(f(x)\thickapprox f(a)\)。
我们知道，导数与积分都是定义在求极限的过程上的，于是两个概念不难定义。函数的可导，就是自变量无限接近的时候，差商有限具无限接近。差商的标准部分，就是函数\(f\)在\(a\)点在标准意义下的导数。函数的积分，就是分割、求和、取极限。自然地，不构成太大的困难。
非标准的微分可能需要做一些较多的工作，尤其可能是需要定义扩充后的线性函数。但应该也不会太困难吧。总而言之，非标准分析以一种优雅的方式实现了分析学的扩充。
非标准微积分的思想及其基本内容均由非标准分析的创始人Robinson于20世纪60年代提出。1966年出版的第一本非标准分析专著《非标准分析》中专门有一章叙述非标准微积分。1976年Keisler,H.J.还出版了可供大学生使用的非标准微积分教材《初等微积分》。该书在大学的试用获得了好评。此后出版的非标准分析中关于微积分，便只有少量论述了—因为这个领域已经表明它是足够成熟的。
实数域与超实数域的公理化定义
可以仿照实数的公理化定义那样定义超实数域的公理。而且后者的定义就建立在前者的基础上。超实数域的具体公理用四条即可概括：
实数公理 实数域\(\mathbb{R}\)是一个完备的有序域，与之前所有的实数公理化定义相同；
扩张公理 超实数域\(\mathbb{R}^*\)是\(\mathbb{R}\)的真有序域扩张。第一节叙述的方法是一种可行方案；
函数公理 对于每个\(n\)元实函\(f\)，存在\(n\)元超实函数\(f^*\)是\(f\)的自然 扩张，并且\(\mathbb{R}^*\)的域运算是\(\mathbb{R}\)的域运算的自然扩张；
可解公理 如果两组公式有相同的实数解，则它们有相同的超实数解。 这一公理使平方根等概念可以推广到超实数域上。
在四条公理之外，还常常添加一条称为饱和公理的命题，以便超实数域有唯一的基数。
说明：有了这几条公理，感觉可以立即开始非标准分析观点下的一元分析。这种感觉真奇怪：在几十分钟之前还觉得非标准分析是天书一样难的理论，但是几十分钟之后，便觉得它在分析学当中是自然而然的东西了。甚至几十分钟之前，还觉得内集合论公理是不可接受的，几十分钟之后便觉得它是十分必要的。可能是因为迅速接受了非标准分析，所以觉得非标准分析的逻辑理论并不是人为刻意构造的逻辑系统。
用公理除了可以证明超实数的存在，还可以证明超实数域\(\mathbb{R}^*\)的唯一性。这样超实数域的性质就非常良好了。
非标准分析展望
如果内集合论公理添加到集合论当中，那么集合中相关的扩张自然在所有的数学门类中应用，包括拓扑空间的理论。事实如此。相关扩张的确可以用在拓扑空间上，使一个一般的拓扑空间\(X\)扩张成\(X^*\)。也许测度空间等同样可以使用。
这样，非标准分析很容易在其它数学门类获得应用。也许它尤其能改变拓扑学叙述问题的方式。
比如说，超实向量可以写成\((a_1,\cdots,a_n)\)，\(a_i\in \mathbb{R}^*\)的形式。这说明非标准分析可以向线性空间中扩展。
非标准分析的思想应用在测度论中，对于集函数会是一个好的修正。因为集函数往往需要取值到\(+\infty\)。
非标准拓扑学是一个研究得比较多的领域。找到相关的书籍应该是不难的。另外，在分析学中常使用度量空间。在度量空间中改写成非标准分析的形式，要比在一般拓扑空间中容易许多。因为可以用度量趋于零刻画度量空间中无限接近的点列。
在广义函数领域。像\(\delta\)-函数这类函数，在应用数学中十分有用，但在标准分析中却不能把它表示为一个具体的函数。于是Schwarz.H.A等人建立了广义函数论，把每一个\(\delta\)-函数定义为满足一定条件的一个线性泛函，从而严格定义了这类函数。然而在非标准分析中，\(\delta\)-函数可以定义成一个通常的函数，从而避免了标准分析中甚至不能定义广义函数乘法的困难。这也许是广义函数研究的一条更好的路径。